一、单选题
1．用0，1，...，9十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为（）
2．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（）
①某食堂在中午半小时内进的人数$Z_1$；②某元件的测量误差$Z_2$；
③小明在一天中浏览网页的时间$Z_3$；④高一2班参加运动会的人数$Z_4$；
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
3．已知离散型随机变量$X$的分布列如下，若$E(3X+4)=5$，则$a+b=$（）
| $X$ | $-1$ | $0$ | $a$ | $2$ |
| $P$ | $\frac{5}{12}$ | $b$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ |
4．已知$X$服从两点分布，若$P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{5}$，则$P(X=1)=$（）
5．已知随机变量$\xi \sim N(4,\sigma^2)$，$P(\xi \leq 5)=0.76$，则$P(\xi \leq 3)$的值为（）
6．对两个具有线性相关关系的变量$x$和$y$进行统计时，得到一组数据$(1,0.3),(2,4.7),(3,m),(4,8)$，通过这组数据求得回归直线方程为$\hat{y}=2.4x-2$，则$m$的值为（）
7．一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为（）
8．设$(2x-1)^5=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_5x^5$，则$a_1+a_2+\cdots+a_5=$（）
二、多选题
9．为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的$2 \times 2$列联表，计算得到$\chi^2 \approx 2.727$，根据小概率值为$\alpha$的独立性检验，则（）
附：
| $P(\chi^2 \geq k)$ | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
| $k$ | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
A．若$\alpha=0.100$，则认为“毛色”和“角”无关
B．若$\alpha=0.100$，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%
C．若$\alpha=0.010$，则认为“毛色”和“角”无关
D．若$\alpha=0.010$，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%
10．某学院派出甲、乙、丙、丁四名老师带队去A，B，C，D四个地区参加社会实践活动，每名老师只能去一个地区，则下列说法正确的是（）
A．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法
B．若恰有一个区无人去，则共有36种不同的安排方法
C．若甲不去A区，且每个区均有人去，则共有18种不同的安排方法
D．若A区只能是甲去或乙去，且每个区均有人去，则共有16种不同的安排方法
11．某校11月份举行校运动会，甲、乙、丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参加，每人选择各项目的概率均为$\frac{1}{3}$，且每人选择相互独立，则（）
A．三人都选择长跑的概率为$\frac{1}{27}$
B．三人不都选择长跑的概率为$\frac{8}{27}$
C．至少有两人选择跳绳的概率为$\frac{7}{27}$
D．在三人选择互不相同的前提下，丙同学选择跳远的概率为$\frac{2}{3}$
三、填空题
12．若$C_{n+2}^6 = C_{n+2}^{20}$（$n \in \mathbb{N}^*$），则$n=$.
13．用一项血液化验来鉴别某人是否患有一种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的0.5%．若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是．（精确到0.001）
14．一个装子里面装有白球4个，黑球3个，所有的球除颜色外完全相同，每次从袋子中随机摸出1个球不再放回，在前两次都摸出白球的条件下，第三次摸出黑球的概率是．
四、解答题
15．已知二项式$(1+2x)^n$的展开式中共有11项.
(1)求展开式的第3项的二项式系数；
(2)求展开式中含$x^2$的项.
16．春节将至，某商家统计了去年某商品的日营销费用$x$（单位：百元）与日销售量$y$（单位：百件），为今年的营销方案制定提供相关的数据参考，得到的数据如下表：
| 日营销费用$x$/百元 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 日销售量$y$/百件 | 1 | 1.1 | 1.5 | 1.8 | 2.1 |
已知$y$与$x$线性相关.
(1)根据上表数据，求$y$关于$x$的经验回归方程；
(2)请利用（1）中的经验回归方程，试估计当今的日销售费用为1000元时，日销售量为多少百件.
17．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
| 一级品 | 二级品 | 合计 | |
| 甲机床 | 150 | 50 | 200 |
| 乙机床 | 120 | 80 | 200 |
| 合计 | 270 | 130 | 400 |
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)依据小概率值$\alpha=0.01$的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
18．袋子中有7个大小相同的小球，其中4个白球，3个黑球，从袋中随机地取出小球，若取到一个白球得2分，取到一个黑球得1分，现从袋中任取4个小球.
(1)求得分$X$的分布列及均值；
(2)求得分大于6的概率.
19．某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图.
(1)估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;
(2)以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用$X$表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求$X$的分布列和数学期望.